Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Perhatikan bentuk kuadrat sempurna (x - 3)² = 10. Bentuk ini bisa diuraikan dengan mengkuadratkan ruas kiri menjadi x² - 6x + 9 = 10, sehingga terbentuk persamaan kuadrat x² - 6x - 1 = 0.
Dengan membalik proses penguraian bentuk kuadrat tadi, kita mendapatkan sebuah metode untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Metode ini dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna. Metode ini biasanya digunakan untuk persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan. Sebagai alternatif lain, bisa digunakan rumus abc.

Jika proses penguraian tadi dibalik, maka diperoleh skema sebagai berikut.

x² - 6x - 1 = 0
x² - 6x = 1
x² - 6x + 9 = 1 + 9
(x - 3)² = 10

Hal yang perlu kita perhatikan adalah angka yang ditambahkan pada kedua ruas di baris ketiga, yaitu 9. Angka 9 ini merupakan setengah dari koefisien x yang dikuadratkan. Koefisien x dari persamaan kuadrat di atas adalah -6, sehingga (-6/2)² = (-3)² = 9.

Secara umum, langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai berikut.

  1. Untuk memudahkan dalam melengkapkan bentuk kuadrat, koefisien x² sebaiknya 1. Jika tidak sama dengan 1, bagi persamaan kuadrat dengan koefisien x² tersebut.
  2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
  3. Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x.
  4. Sederhanakan ruas kanan dan ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.
  5. Akarkan kedua ruas kemudian cari nilai x1 dan x2.

Soal No. 1
Carilah akar-akar persamaan kuadrat 4x² - 8x - 5 = 0.

Pembahasan
Bagi persamaan kuadrat dengan koefisien x², yaitu 4.

x² - 2x - 5/4 = 0

Pindahkan konstanta ke ruas kanan.

x² - 2x = 5/4

Tambahkan kedua rus dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu (-2/2)² = (-1)² = 1.

x² - 2x + 1 = 5/4 + 1

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dan sederhanakan ruas kanan.

(x - 1)² = 9/4

Akarkan kedua ruas.

x - 1 = ± √(9/4) = ± 3/2
x = 1 ± 3/2

Cari nilai x1 dan x2.

x1 = 1 + 3/2 = 5/2
x2 = 1 - 3/2 = -1/2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-1/2, 5/2}.

Soal No. 2
Carilah akar-akar persamaan kuadrat x² - 8x + 7 = 0.

Pembahasan
x² - 8x + 7 = 0
x² - 8x = - 7
x² - 8x + 16 = -7 + 16
(x - 4)² = 9
x - 4 = ± √9
x - 4 = ± 3
x = 4 ± 3

x1 = 4 + 3 = 7
x2 = 4 - 3 = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 7}.

No comments: